Soal dan Pembahasan Rotasi (Perputaran) dengan Matriks

Pada kesempatan ini, ID-KU akan memposting "Soal dan Pembahasan Rotasi (Perputaran) dengan Matriks", dimana rotasi (perputaran) ini sendiri merupakan bagian dari materi transformasi geometri. 

Perputaran atau rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh θ terhadap suatu titik pusat rotasi. 

Perputaran atau rotasi pada bidang datar ditentukan oleh:

1. Titik pusat rotasi

2. Besar sudut rotasi

3. Arah sudut rotasi

Berikut ini adalah bayangan dan matriks yang bersesuaian dengan rotasi

P(x,y) ➝ P'(x',y')

   

Itulah sedikit materi tentang apa itu rotasi (perputaran), selanjutnya kita masuk dalam contoh soal dan pembahasannnya dalam hal ini dengan menggunakan matriks.

Soal ❶

Titik A dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan dengan arah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A.

Pembahasan:

(x′y′)=(01−10).(xy)
⟺ (x′y′)=(01−10).(21)
⟺ (x′y′)=(−12)

Dengan demikian x' = -1 dan y' = 2.

Jadi, bayangan titik A(2,1) oleh rotasi terhadap titik O(0,0) sejauh 90⁰ berlawanan arah putaran jam adalah A'(-1,2).

Soal ❷

Bayangan titik A oleh rotasi R(0,45⁰) adalah (-√2,√2). Tentukanlah koordinat titik A.

Pembahasan:

(x′y′)=(cosθsinθ−sinθcosθ).(xy)
Karena θ = 45⁰, maka:
(x′y′)=(cos45⁰sin45⁰−sin45⁰cos45⁰).(xy)
⟺ (−√2√2)=(½√2½√2−½√2½√2).(xy)
⟺ (−√2√2)=(½√2x−½√2y½√2x+½√2y)
Dengan demikian:
½√2x - ½√2y = -√2  ...........(1)
½√2x + ½√2y = √2  ...........(2)

Dengan menyelesaikan persamaan (1) dan (2) di atas, maka diperoleh x = 0 dan y = 2.

Jadi, koordinat titik A adalah (0,2).

Soal ❸

Titik B(5,-1) dirotasikan terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam. Tentukanlah bayangan titik B tersebut.

Pembahasan:

(x′y′)=(0−110).(x−ay−b)+(ab)
⟺ (x′y′)=(0−110).(5−2−1−3)+(23)
⟺ (x′y′)=(0−110).(3−4)+(23)
⟺ (x′y′)=(−4−3)+(23)
⟺ (x′y′)=(−20)

Dengan demikian, x' = -2 dan y' = 0.

Jadi, koordinat bayangan titik B(5,-1) oleh rotasi terhadap titik P(2,3) sejauh 90⁰ searah putaran jam adalah B'(-3,0).

Soal ❹

Jika garis x - 2y = 5 diputar sejauh 90⁰ terhadap titik (2,4) berlawanan arah putaran jam, maka tentukanlah persamaan bayangannya.

Pembahasan:

(x′y′)=(01−10).(x−2y−4)+(24)
⟺ (x′y′)=(4−yx−2)+(24)
⟺ (x′y′)=(6−yx+2)

Dengan  demikian, maka:
x' = 6 - y  => y = 6 - x'
y' = x + 2 => x = y' - 2
Dengan mensubtitusikan x = y' - 2 dan y = 6 - x' pada persamaan garis, diperoleh:
(y' - 2) - 2(6 - x') = 5
y' - 2 - 12 + 2x' = 5
2x' + y' = 5 + 2 + 12
2x' + y' = 19

Jadi, persamaan bayangan garis x - 2y = 5 oleh rotasi sejauh 90⁰ terhadap titik (2,4) berlawanan arah putaran jam adalah 2x + y = 19.

Baca Juga: Kumpulan Soal dan Pembahasan Dilatasi

Demikian postingan tentang "Soal dan Pembahasan Rotasi (Perputaran) dengan Matriks" ini, semoga dapat membantu anda dalam menyelesaikan soal-soal terkait dengan transformasi geometri (rotasi).